例1:判斷函數(shù)f(x)= lg(
1+x2
-x)
的奇偶性.
分析:首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,然后確定f(-x)與f(x)的關(guān)系,注意到
1+x2
-x
1+x2
+x
互為倒數(shù)關(guān)系.
解答:解:函數(shù)的定義域?yàn)镽
f(-x)=lg(
1+x2
+x)
=lg(
1+x2
-x)
-1
=-lg(
1+x2
-x)
=-f(x)
故該函數(shù)是奇函數(shù).
點(diǎn)評(píng):本題考查了函數(shù)的奇偶性的判定,以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是奇偶函數(shù)的一個(gè)本質(zhì)特征,定義法是其它方法的基礎(chǔ);用等價(jià)定義判斷解析式較為復(fù)雜的函數(shù)的奇偶性時(shí),可化繁為簡(jiǎn);圖象關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱是奇偶函數(shù)的幾何特征;反之,函數(shù)的奇偶性又是函數(shù)圖象對(duì)稱性的代數(shù)描述,進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了數(shù)與形的辨證統(tǒng)一.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

對(duì)于函數(shù)f(x),若f(x0)=x0,則稱x0為f(x)的:“不動(dòng)點(diǎn)”;若f[f(x0)]=x0,則稱x0為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B,即A={x|f[f(x)]=x}.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求證:B=∅;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=3x+4,求集合A和B,并分析能否根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論判斷A=B恒成立?若能,請(qǐng)給出證明,若不能,請(qǐng)舉以反例.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2003•北京)設(shè)y=f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的函數(shù),且滿足條件:(i)f(-1)=f(1)=0;(ii)對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|≤|u-v|.
(Ⅰ)證明:對(duì)任意的x∈[-1,1],都有x-1≤f(x)≤1-x;
(Ⅱ)判斷函數(shù)g(x)=
1+x,x∈[-1,0)
1-x,x∈[0,1]
是否滿足題設(shè)條件;
(Ⅲ)在區(qū)間[-1,1]上是否存在滿足題設(shè)條件的函數(shù)y=f(x),且使得對(duì)任意的u,v∈[-1,1],都有|f(u)-f(v)|=u-v.
若存在,請(qǐng)舉一例:若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且Δ=b2-4ac,試判斷下列命題的真假,若命題為假,則舉出一個(gè)反例說(shuō)明;若命題為真,則證明之.

命題(1):若Δ<0,則af(x)≤0;

命題(2):若Δ>0,x1、x2是方程f(x)=0的兩根,且x1<x2,則當(dāng)x1<x<x2時(shí),af(x)<0;當(dāng)x<x1或x>x2時(shí),af(x)>0.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:2012-2013學(xué)年江西省百所重點(diǎn)高中高三(上)段考數(shù)學(xué)試卷(理科)(解析版) 題型:解答題

對(duì)于函數(shù)f(x),若f(x)=x,則稱x為f(x)的:“不動(dòng)點(diǎn)”;若f[f(x)]=x,則稱x為f(x)的“穩(wěn)定點(diǎn)”.函數(shù)f(x)的“不動(dòng)點(diǎn)”和“穩(wěn)定點(diǎn)”的集合分別記為A和B,即A={x|f[f(x)]=x}.
(1)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且A=∅,求證:B=∅;
(2)設(shè)函數(shù)f(x)=3x+4,求集合A和B,并分析能否根據(jù)(1)(2)中的結(jié)論判斷A=B恒成立?若能,請(qǐng)給出證明,若不能,請(qǐng)舉以反例.

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