Question

已知函數(shù)
（I）求f（log₂3）的值
（II）證明f（x）的是奇函數(shù)；
（III）求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】分析：（I）由函數(shù)，知f（log₂3）=，由此利用對(duì)數(shù)的恒等式，能求出結(jié)果．
（II）由，知=-=-f（x），由此能證明f（x）為R上的奇函數(shù)．
（III）由=1-，利用2^x＞0，得，由此能求出f（x）的值域．
解答：解：（I）∵函數(shù)，
∴f（log₂3）===．
（II）∵，
∴f（x）的定義域?yàn)镽，
∵
=
=-
=-f（x），
∴f（x）為R上的奇函數(shù)．
（III）==1-，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴f（x）的值域是（-1，1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用和對(duì)數(shù)奇偶性的證明，求對(duì)數(shù)函數(shù)值域的方法，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．