如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形所在的平面與圓所在的平面互相垂直．已知,．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；

（Ⅲ）當的長為何值時，平面與平面所成的銳二面角的大小為？

 

【答案】

（Ⅰ）平面平面,平面

平面平面平面（II）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（I）證明：平面平面,,

平面平面=，

平面．

平面，，

又為圓的直徑，，

平面．            

平面，平面平面………4分

（II）根據(jù)（Ⅰ）的證明，有平面，

為在平面內(nèi)的射影,

因此，為直線與平面所成的角  ……………6分

，四邊形為等腰梯形，

過點作，交于．

,，則．

在中，根據(jù)射影定理，得．

，．

直線與平面所成角的大小為．       …………8分

（Ⅲ）設(shè)中點為，以為坐標原點，、、方向分別為軸、軸、 軸方向建立空間直角坐標系（如圖）.設(shè)，則點的坐標為則 ,又

   

設(shè)平面的法向量為，則,．

即    令，解得

 ………………………………..10分

由（I）可知平面，取平面的一個法向量為，依題意 與的夾角為，即， 解得

因此，當的長為時，平面與平面所成的銳二面角的大小為.…12分

考點：線面垂直的判定與性質(zhì)及線面角，二面角的求解

點評：采用空間向量的方法求解關(guān)于點的位置或線段長度的題目較簡便易行

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，為圓的直徑，點、在圓上，且，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）設(shè)的中點為，求證：平面；

（Ⅲ）求四棱錐的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年湖南省六校高三第二次聯(lián)考數(shù)學（文）試題 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，．
（1）求證：平面；
（2）設(shè)的中點為，求證：平面；
（3）設(shè)平面將幾何體分成的兩個錐體的體積分別為，，求．

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年陜西省高三第四次模擬考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，為圓的直徑，點、在圓上，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求三棱錐的體積.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年福建省泉州四校高三第二次聯(lián)考考試文科數(shù)學 題型：解答題

．(本題滿分12分)如圖，為圓的直徑，點、在圓上，，矩形的邊垂直于圓所在的平面，且，.

（1）求證：平面；

（2）設(shè)的中點為，求證：平面；

（3）求三棱錐的體積 .

 

 

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年江蘇省姜堰市二中學高三學情調(diào)查數(shù)學試卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）

如圖，為圓的直徑，點、在圓上，且，矩形所在的平面和圓所在的平面互相垂直，且，．

（1）求證：平面；

（2）設(shè)的中點為，求證：平面；

（3）設(shè)平面將幾何體分成的兩個錐體的體積分別為，，

求

 

 

 

 

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