Question

如圖 5，已知正方形ABCD在水平面上的正投影（投影線垂直于投影面）是四邊形，其中A與A '重合，且BB'＜DD'＜CC'．

（1）證明AD'//平面BB'C'C，并指出四邊形AB'C'D’的形狀；

（2）如果四邊形中AB'C'D’中，，正方形的邊長為 ，

求平面ABCD與平面AB'C'D’所成的銳二面角的余弦值．

 

 

Answer 1

【答案】

見解析.

【解析】第一問是涉及到線面平行的判定，以及四邊形的形狀問題的證明。

第二問關(guān)于二面角的求解，可以利用射影面積公式法，也可以利用法向量的夾角公式來解，通過合理的建立直角坐標系，表示向量，然后求解斜率的夾角，利用互為補角的關(guān)系求解得到二面角的大小。

解：（2）依題意，在Rt△ABB’中，，

在Rt△ADD’中，，

所以．………………8分

連結(jié)AC，AC’，如圖5－2，在Rt△ACC’中，．

所以，故．……10分

（法1）延長CB，C’B’相交于點F，

則，所以．

連結(jié)AF，則AF是平面ABCD與平面AB’C’D

的交線．

在平面AB’C’D

內(nèi)作C’G，垂足為G，

連結(jié)．

因為平面AB’C’D，平面AB’C’D，所以AF．

從而平面CC’G，．

所以是平面ABCD與平面AB’C’D所成的一個銳二面角．  …………12分

在Rt△AC’F中，，

在Rt△CC’G中，．

所以，

即平面ABCD與平面AB'C'D’所成的銳二面角的余弦值為．………14分

 

（法2）以c’為原點，c’a為x軸，c’b’為y軸，c’c為z軸，

建立空間直角坐標系（如圖5－3），

則平面AB’C’D的一個法向量．

設(shè)平面ABCD的一個法向量為，

因為

取z=1，則y=，x=，所以平面ABCD的一個法向量為．

（注：法向量不唯一，可以是與共線的任一非零向量）……………12分

．

所以平面ABCD與平面AB’C’D所成的銳二面角的余弦值為． …………………14分

（法3）由題意，正方形ABCD在水平面上的正投影是四邊形AB’C’D，

所以平面ABCD與平面AB’C’D，所成的銳二面角的余弦值．  …………12分

所以，

所以平面ABCD與平面AB’C’D所成的銳二面角的余弦值為． …………………14分