Question

已知5只動物中有1只患有某種疾病，需要通過化驗(yàn)血液來確定患病的動物．血液化驗(yàn)結(jié)果呈陽性的即為患病動物，呈陰性即沒患病．下面是兩種化驗(yàn)方案：
方案甲：逐個化驗(yàn)，直到能確定患病動物為止．
方案乙：先任取3只，將它們的血液混在一起化驗(yàn)．若結(jié)果呈陽性則表明患病動物為這3只中的1只，然后再逐個化驗(yàn)，直到能確定患病動物為止；若結(jié)果呈陰性則在另外2只中任取1只化驗(yàn)．
求依方案甲所需化驗(yàn)次數(shù)不少于依方案乙所需化驗(yàn)次數(shù)的概率．

Answer 1

（解法一）：主要依乙所驗(yàn)的次數(shù)分類：
若乙驗(yàn)兩次時，有兩種可能：
①先驗(yàn)三只結(jié)果為陽性，再從中逐個驗(yàn)時，恰好一次驗(yàn)中概率為：

C 24 A 33

A 35

 ×

1

A 13

 =

6×6

3×4×5

×

1

3

=

1

5

（也可以用

C 24

C 35

×

1

C 13

=

6

10

×

1

3

=

1

5

）
②先驗(yàn)三只結(jié)果為陰性，再從其它兩只中驗(yàn)出陽性（無論第二次驗(yàn)中沒有，均可以在第二次結(jié)束）

A 34

A 35

A 12

A 22

=

24

5×3×4

=

2

5

（

C 34

C 35

=

4

10

×

1

2

=

1

5

）
∴乙只用兩次的概率為

1

5

+

2

5

=

3

5

．
若乙驗(yàn)三次時，只有一種可能：
先驗(yàn)三只結(jié)果為陽性，再從中逐個驗(yàn)時，恰好二次驗(yàn)中概率為：∴在三次驗(yàn)出時概率為

2

5

∴甲種方案的次數(shù)不少于乙種次數(shù)的概率為：

3

5

×(1-

1

5

)+

2

5

(1-

1

5

-

1

5

)=

12

25

+

6

25

=

18

25

（解法二）：設(shè)A為甲的次數(shù)不多于乙的次數(shù)，則

.

A

表示甲的次數(shù)小于乙的次數(shù)，
則只有兩種情況，甲進(jìn)行的一次即驗(yàn)出了和甲進(jìn)行了兩次，乙進(jìn)行了3次．
則設(shè)A₁，A₂分別表示甲在第一次、二次驗(yàn)出，并設(shè)乙在三次驗(yàn)出為B
則P(A1)=

1

C 15

=

1

5

，P(A2)=

A 14

A 25

=

1

5

，P(B)=

C 24

C 35

(1-

1

C 13

)=

6

10

×

2

3

=

2

5

∴P(

.

A

)=P(A1)+P(A2)•P(B)=

1

5

+

1

5

×

2

5

=

7

25

∴P(A)=1-

7

25

=

18

25