Question

 已知函數(shù)，（x>0）．

   （1）當(dāng)0<a<b，且f（a）=f（b）時(shí)，求的值  ；

   （2）是否存在實(shí)數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域、值域都是[a，b]，若存在，求出a，b的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

   （3）若存在實(shí)數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)?[a，b]時(shí)，值域?yàn)?[ma，mb]，（m≠0），求m的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1） ∵x>0，∴

    ∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

    由0<a<b，且f（a）=f（b），可得 0<a1<b和．

    即．……………………3分

   （2）不存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b．

    若存在滿足條件的實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y=的定義域、值域都是[a，b]，

    則a>0．而

    ①當(dāng)時(shí)，在（0，1）上為減函數(shù)．

    故     即  解得  a=b．

    故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．

    ②當(dāng)時(shí)，在上是增函數(shù)．

    故     即 

    此時(shí)a，b是方程的根，此方程無(wú)實(shí)根．

    故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．

    ③當(dāng)，時(shí)，由于，而，

    故此時(shí)不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．

    綜上可知，不存在適合條件的實(shí)數(shù)a，b．        …………………………8分

   （3）若存在實(shí)數(shù)a，b（a<b），使得函數(shù)y=f（x）的定義域?yàn)閇a，b]時(shí)，值域?yàn)閇ma，mb]．

    則a>0，m>0．

    當(dāng)時(shí)，由于f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，

    故．此時(shí)得a=b，不符合題意，所以a，b不存在．

    當(dāng)，時(shí)，由（2）知0在值域內(nèi)，值域不可能是[ma，mb]，所以a，b不存在．

    故只有．

    ∵在上是增函數(shù)，

    ∴ 即    

    所以a、b是方程的兩個(gè)根．

    即關(guān)于x的方程有兩個(gè)大于或等于1的相異實(shí)根．

    設(shè)這兩個(gè)根為、，則+=，·=．

    ∴      

    即    解得   ．

    故m的取值范圍是．   ……………………………14分