Question

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥底面ABCD，SA=AB，點(diǎn)M是SD的中點(diǎn)，AN⊥SC，且交SC于點(diǎn)N．
（I）求證：SB∥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角D-AC-M的大��；
（Ⅲ）求證：平面SAC⊥平面AMN．

Answer 1

【答案】分析：此題可有多種方法求解：
方法一：
（1）根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知，只要在平面ACM內(nèi)找到與直線SB平行的直線就可以了，因?yàn)镸為中點(diǎn)，所以構(gòu)造平行線的時(shí)候可以考慮一下構(gòu)造“中位線”．；
（2）二面角的度量關(guān)鍵在于作出它的平面角，常用的方法就是三垂線定理，在找垂線的時(shí)候，應(yīng)以題中本來(lái)就有的垂線優(yōu)先，如SA⊥底面ABCD，所以可取AD中點(diǎn)F，則MF∥SA，所以MF⊥底面ABCD．
（3）可從結(jié)論反推：因?yàn)槠矫鍿AC∩平面AMN=AN，并且AN⊥SC，易知：只要想辦法證明SC⊥平面AMN就可以了
方法二：
在含有直線與平面垂直垂直的條件的棱柱、棱錐、棱臺(tái)中，也可以建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)定參量求解．比如此題中，我們可以以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA、BA、SA為x、y、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz．這種解法的好處就是：（1）解題過(guò)程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對(duì)位置的有關(guān)定理，因?yàn)檫@些可以用向量方法來(lái)解決．（2）即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出，因?yàn)橹恍璁媯�(gè)草圖以建立坐標(biāo)系和觀察有關(guān)點(diǎn)的位置即可．
解答：解：方法一：（Ⅰ）證明：連接BD交AC于E，連接ME．（1分）
∵ABCD是正方形，
∴E是BD的中點(diǎn)．
∵M(jìn)是SD的中點(diǎn)，
∴ME是△DSB的中位線．
∴ME∥SB．（2分）
又∵M(jìn)E?平面ACM，SB?平面ACM，（3分）
∴SB∥平面ACM．（4分）

（Ⅱ）解：取AD中點(diǎn)F，則MF∥SA．作FQ⊥AC于Q，連接MQ．（5分）
∵SA⊥底面ABCD，
∴MF⊥底面ABCD．
∴FQ為MQ在平面ABCD內(nèi)的射影．
∵FQ⊥AC，
∴MQ⊥AC．
∴∠FQM為二面角D-AC-M的平面角．（7分）
設(shè)SA=AB=a，在Rt△MFQ中，，
∴．
∴二面角D-AC-M的大小為．（9分）

（III）證明：由條件有DC⊥SA，DC⊥DA，
∴DC⊥平面SAD，
∴AM⊥DC．（10分）
又∵SA=AD，M是SD的中點(diǎn)，
∴AM⊥SD．
∴AM⊥平面SDC．（11分）
∴SC⊥AM．
由已知SC⊥MN，
∴SC⊥平面AMN．
又SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．（14分）

方法二：解：（II）如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，
建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，（5分）
由SA=AB故設(shè)AB=AD=AS=1，則．
∵SA⊥底面ABCD，
∴是平面ABCD的法向量，．
設(shè)平面ACM的法向量為n=（x，y，z），，（7分）
則即
∴
令x=1，則n=（1，-1，-1）．（8分）
∴，
∴二面角D-AC-M的大小為．（9分）
（III）∵，，（10分）
∴∴（12分）
又∵SC⊥AN且AN∩AM=A．
∴SC⊥平面AMN．又SC?平面SAC，
∴平面SAC⊥平面AMN．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算求解能力