Question

已知函數(shù)f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若方程f（x）=0有三個(gè)不等的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=-x³+3x²+9x+a，求得f′（x）=-3x²+6x+9，通過對(duì)f'（x）＞0與f'（x）＜0的分析，可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若方程f（x）=0，有三個(gè)不等的實(shí)根，則其極小值應(yīng)小于0，極大值應(yīng)大于0，解二者聯(lián)立的不等式組即可．

解答：解：（1）∵f（x）=-x³+3x²+9x+a，
∴f′（x）=-3x²+6x+9．　　　　　　
令f'（x）＞0，解得-1＜x＜3．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，3）．
令f'（x）＜0，解得x＜-1或x＞3．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，-1），（3，+∞），
∴f（x）_極小值=f（-1）=a-5，f（x）_極大值=f（3）=a+27；
（2）由（1）知若方程f（x）=0，有三個(gè)不等的實(shí)根，
則

a-5＜0 a+27＞0

解得-27＜a＜5．
所以a 的取值范圍是（-27，5）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，著重考查導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性間的關(guān)系及應(yīng)用，突出考查轉(zhuǎn)化思想與方程思想的運(yùn)用，屬于中檔題．