Question

（本小題滿分16分） 一個三角形數表按如下方式構成：第一行依次寫上n(n≥4)個數，在上一行的每相鄰兩數的中間正下方寫上這兩數之和，得到下一行，依此類推．記數表中第i行的第j個數為f(i,j)．

(1)若數表中第i (1≤i≤n－3)行的數依次成等差數列，求證：第i+1行的數也依次成等差數列；
(2)已知f(1,j)=4j，求f(i,1)關于i的表達式；
(3)在(2)的條件下，若f(i,1)=(i+1)(a_i－1)，b_i= ，試求一個函數g(x)，使得
S_n=b₁g(1)+b₂g(2)+…+b_ng(n)＜，且對于任意的m∈(,)，均存在實數，使得當時，都有S_n >m.

Answer 1

(1)數表中第行的數依次所組成數列的通項為，則由題意可得
 
(其中為第行數所組成的數列的公差) ． 
(2) ．
(3) ．

(1)數表中第行的數依次所組成數列的通項為，則由題意可得
 
(其中為第行數所組成的數列的公差) ． 
(2)，第一行的數依次成等差數列，由(1)知，第2行的數也依次成等差數列，依次類推，可知數表中任一行的數(不少于3個)都依次成等差數列.
設第行的數公差為,則，則
所以

．            
(3)由，可得
所以= 
令,則,所以    
要使得，即，只要=，
，，所以只要,
即只要,所以可以令
則當時，都有．所以適合題設的一個函數為．