Question

設(shè)橢圓=1（a＞b＞0）的焦點(diǎn)為F₁、F₂，P是橢圓上任一點(diǎn)，若∠F₁PF₂的最大值為．
（Ⅰ）求橢圓的離心率；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓交于M、N兩點(diǎn)，且l與以原點(diǎn)為圓心，短軸長(zhǎng)為直徑的圓相切．已知|MN|的最大值為4，求橢圓的方程和直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由橢圓的定義可知，|PF₁|+|PF₂|=2a?，由余弦定理可得，COS∠F₁PF₂=，代入可求離心率
（2）由（I）可得e=，從而可得橢圓方程為y²+4x²=4b²，該直線l：y=kx+m．由直線l與圓x²+y²=b²相切，可得m²=b²（1+k²），聯(lián)立方程可得（4+k²）x²+2kmx+m²-4b²=0而|MN|=4b•≤2b?可求
解答：解：∵橢圓方程為=1（a＞b＞0）?
（1）|PF₁|+|PF₂|=2a?
cosF₁PF₂=
∴e=
（2）∵e=，∴a²=4b²．?
∴橢圓方程為y²+4x²=4b²?
該直線l：y=kx+m．?
∵直線l與圓x²+y²=b²相切，∴m²=b²（1+k²）①?
從得（4+k²）x²+2kmx+m²-4b²=0
∵|MN|=4b•≤2b?
當(dāng)且僅當(dāng)k=±時(shí)取等號(hào)．
∴l(xiāng)：y=±
此時(shí)橢圓方程為：=1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的性質(zhì)的簡(jiǎn)單運(yùn)用，及直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查了考試的基本運(yùn)算的能力，屬于綜合性試題．