Question

給定兩個(gè)命題，命題p：對任意實(shí)數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立，命題q：關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根，如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)二次函數(shù)恒成立的充要條件，我們可以求出命題p為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)有實(shí)根的充要條件，我們可以求出命題q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，然后根據(jù)p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p，q中一個(gè)為真一個(gè)為假，分類討論后，即可得到實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：對任意實(shí)數(shù)x都有ax²+ax+1＞0恒成立?a=0或

a＞0 △＜0

?0≤a＜4；（2分）
關(guān)于x的方程x²-x+a=0有實(shí)數(shù)根?△=1-4a≥0?a≤

1

4

；…（4分）
p∨q為真命題，p∧q為假命題，即p真q假，或p假q真，…（5分）
如果p真q假，則有0≤a＜4，且a＞

1

4

∴

1

4

＜a＜4；…（6分）
如果p假q真，則有a＜0，或a≥4，且a≤

1

4

∴a＜0…（7分）
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為（-∞，0）∪（

1

4

，4）． …（8分）

點(diǎn)評：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，復(fù)合命題的真假，函數(shù)恒成立問題，其中判斷出命題p與命題q為真時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍，是解答本題的關(guān)鍵．