Question

求函數(shù)y=ln（1+ax）-

ax

ax+1

的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：函數(shù)y=f（x）=ln（1+ax）-

ax

ax+1

（1+ax＞0）．當(dāng)a=0時，f（x）=0，不具有單調(diào)性．當(dāng)a≠0時，f′（x）=

a2x

(ax+1)2

，通過對a分類討論即可得出單調(diào)性．

解答： 解：函數(shù)y=f（x）=ln（1+ax）-

ax

ax+1

（1+ax＞0）．
當(dāng)a=0時，f（x）=0，不具有單調(diào)性．
當(dāng)a≠0時，f′（x）=

a2x

(ax+1)2

，
當(dāng)a＞0時，由1+ax＞0解得x＞-

1

a

．
令f′（x）=0，解得x=0．令f′（x）＞0，解得x＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，解得-

1

a

＜x＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．
當(dāng)a＜0時，由1+ax＞0解得x＜-

1

a

．
令f′（x）=0，解得x=0．令f′（x）＞0，解得-

1

a

＞x＞0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞增；
令f′（x）＜0，解得x＜0，此時函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了分類討論的思想方法，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．