Question

8．若對于任意的x＞0，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（　�。�

• A． a≥$\frac{1}{5}$
• B． a＞$\frac{1}{5}$
• C． a＜$\frac{1}{5}$
• D． a≤$\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 由x＞0，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$，運(yùn)用基本不等式可得最大值，由恒成立思想可得a的范圍．

解答 解：由x＞0，$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$=$\frac{1}{x+\frac{1}{x}+3}$，
令t=x+$\frac{1}{x}$，則t≥2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=2
當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)，t取得最小值2．
$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$取得最大值$\frac{1}{5}$，
所以對于任意的x＞0，不等式$\frac{x}{{x}^{2}+3x+1}$≤a恒成立，
則a≥$\frac{1}{5}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的恒成立問題的解法，注意運(yùn)用基本不等式求得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．