Question

已知方程x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0．
（1）當(dāng)且僅當(dāng)m在什么范圍內(nèi)，該方程表示一個(gè)圓；
（2）當(dāng)m在以上范圍內(nèi)變化時(shí)，求圓心的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程,二元二次方程表示圓的條件

專題：直線與圓

分析：（1）將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用圓的半徑大于0，可求m的范圍；
（2）用參數(shù)表示出圓心坐標(biāo)，消去參數(shù)可得圓心的軌跡方程．

解答： 解：（1）由x²+y²-2（m+3）x+2（1-4m²）y+16m⁴+9=0，可得[x-（m+3）]²+[y+（1-4m²）]²=1+6m-7m²，
∴當(dāng)且僅當(dāng)1+6m-7m²＞0，即{m|-

1

7

＜m＜1}時(shí)，給定的方程表示一個(gè)圓．
（2）設(shè)圓心坐標(biāo)為（x，y），則

x=m+3 y=4m2-1

(-

1

7

＜m＜1)（m為參數(shù)）．
消去參數(shù)m⇒y=4（3-x）²-1，
∴y=4(x-3)2-1(

20

7

＜x＜4)為所求圓心軌跡方程．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程，考查軌跡方程，考查學(xué)生對(duì)圓的方程的理解，屬于中檔題．