Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側面AA₁C₁C⊥底面ABC，AA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，且AB⊥BC，O為AC中點．
（1）求直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值；
（2）在BC₁上是否存在一點E，使得OE∥平面A₁AB，若不存在，說明理由；若存在，確定點E的位置．

Answer 1

證明：（1）因為A₁A=A₁C，且O為AC的中點，所以A₁O⊥AC．又由題意可知，平面AA₁C₁C⊥平面ABC，交線為AC，且A₁O?平面AA₁C₁C，
所以A₁O⊥平面ABC．…（3分）
如圖，以O為原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．由題意可知A₁A=A₁C=AC=2，又AB=BC，AB⊥BC，∴OB=AC=1，
所以得：
則有：=（1，1，0）．
設平面AA₁B的一個法向量為n=（x，y，z），則有 ，令y=1，得x=-1，z=-所以．
cos＜n，．
∴直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值為…（8分）
（2）設E=（x₀，y₀，z₀），，即，得
所以，得，
令OE∥平面A₁AB，得•n=0，
即-1+λ+2λ-λ=0，得λ=，
∴存在這樣的點E，且E為BC₁的中點．…（12分）
分析：（1）由已知中AA₁=A₁C，O為AC中點，根據(jù)等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，可得A₁O⊥AC，又由已知中側面AA₁C₁C⊥底面ABC，故A₁O⊥平面ABC，以O為原點，OB，OC，OA₁所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，分別求出直線A₁C的方向向量與平面A₁AB的法向量，代入空間向量夾角公式，即可得到直線A₁C與平面A₁AB所成角的正弦值；
（2）設出E點的坐標，根據(jù)OE∥平面A₁AB，則OE的方向向量與平面A₁AB的法向量垂直，數(shù)量積為零，我們可以求出E點坐標，進而確定E點的位置．
點評：本題考查的知識點是向量語言表述面面垂直、平行關系，用空間向量求直線與平面的夾角，其中建立恰當?shù)目臻g坐標系，將空間直線與平面的位置關系問題轉化為空間向量的夾角問題是解答本題的關鍵．