Question

已知函數(shù)，
（1）當(dāng)a=-1時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在x=x₁和x=x₂處有極值，且，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間，先求導(dǎo)數(shù)，再令導(dǎo)數(shù)大于0，解出x的范圍即可．
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）在x=x₁和x=x₂處取得極值，可判斷x₁和x=x₂處為方程x²-2ax+3a=0的兩根，就可列出a，b的不等關(guān)系，再利用條件：“”結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系建立關(guān)于a另一個不等式．兩者結(jié)合即可求實數(shù)a的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)a=-1時，f（x）=x³+x²-3x，
∴f'（x）=x²+2x-3，（2分）
令f'（x）＞0，即x²+2x-3＞0，解得x＞1或x＜-3，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞），（-∞，-3）；（5分）
（2）函數(shù)f（x）在x=x₁和x=x₂處有極值，且f'（x）=x²-2ax+3a
∴x₁和x₂為方程x²-2ax+3a=0的兩根，
∴，由△＞0得4a²-12a＞0，∴a＞3或a＜0，①
∴+===
設(shè)t=，且，∴1＜t≤3．
∴+=t+，此函數(shù)在（0，1）上遞減，（1，+∞）遞增，
∴2＜+，∴2＜-2≤，⇒3＜a≤4②
由①②實數(shù)a的取值范圍3＜a≤4．
點評：本題考查了一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，應(yīng)當(dāng)掌握．屬于中檔題．