Question

22、如圖，已知AP是⊙O的切線(xiàn)，P為切點(diǎn)，AC是⊙O的割線(xiàn)，與⊙O交于B，C兩點(diǎn)，圓心O在∠PAC的內(nèi)部，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明A，P，O，M四點(diǎn)共圓；
（Ⅱ）求∠OAM+∠APM的大�。�

Answer 1

分析：（I）連接OP，OM，利用AP與⊙O相切于點(diǎn)P和M是⊙O的弦BC的中點(diǎn)得到垂直關(guān)系，從而證得四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，最后得到A，P，O，M四點(diǎn)共圓；
（II）由（Ⅰ）得A，P，O，M四點(diǎn)共圓得到∠OAM=∠OPM，及OP⊥AP，從而∠OPM+∠APM=90°，從而問(wèn)題解決．

解答：解：（Ⅰ）證明：連接OP，OM．
因?yàn)锳P與⊙O相切于點(diǎn)P，所以O(shè)P⊥AP．
因?yàn)镸是⊙O的弦BC的中點(diǎn)，所以O(shè)M⊥BC．
于是∠OPA+∠OMA=180°．
由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，
所以A，P，O，M四點(diǎn)共圓．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得A，P，O，M四點(diǎn)共圓，所以∠OAM=∠OPM．
由（Ⅰ）得OP⊥AP．
由圓心O在∠PAC的內(nèi)部，可知∠OPM+∠APM=90°．
所以∠OAM+∠APM=90°．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段、與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段的應(yīng)用、四點(diǎn)共圓的解法等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎(chǔ)題．