Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分5分，第2小題滿分5分，第3小題滿分8分.
已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列.
（1）      若，是否存在，有說明理由；
（2）      找出所有數(shù)列和，使對一切,,并說明理由；
（3）      若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個連續(xù)項的和是數(shù)列中的一項，請證明.

Answer 1

（1）由，                       ……2分
整理后，可得，，為整數(shù)，
不存在，使等式成立.                          ……5分
（2）解法一 若即，       （*）
（i）若，
當為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求.……7分
（ii）若，（*）式等號左邊取極限得（*）式等號右邊只有當時，才可能等于1，此時等號左邊是常數(shù)，，矛盾.
綜上所述，只有當為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求.                                                ……10分
解法二 設(shè)，若，對都成立，且為等比數(shù)列，則，對都成立，即，
，對都成立，……7分
（i）若，.
（ii）若，則
綜上所述，，使對一切，. ……10分
（3），
設(shè)
，
，，           ……13分
取，……15分
由二項展開式可得整數(shù)，使得，

存在整數(shù)滿足要求.
故當且僅當，命題成立.                              ……18分
說明：第（3）題若學生從以下角度解題，可分別得部分分（即分步得分）
若為偶數(shù)，則為偶數(shù)，但為奇數(shù).
故此等式不成立，一定為奇數(shù).                        ……1分
當，
而
           當為偶數(shù)時，存在，使成立，                 ……1分
當 ，
也即，，
由已證可知，當為偶數(shù)即為奇數(shù)時，存在，成立，……2分
當，
也即，而不是5的倍數(shù)，當所要求的不存在，
故不是所有奇數(shù)都成立.                                       ……2分

⑴知道了數(shù)列通項，可以把表達出來，因為，看是否滿足條件；
⑵寫出兩個數(shù)列的通項，根據(jù)公差的取值進行討論；
⑶由題意可知，數(shù)列的通項可以確定，設(shè)連續(xù)的項的的首項，可以求出這項的和，讓其等于數(shù)列的第k項，建立方程，因為，從這里入手進行計算.