Question

8．已知直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求a的取值范圍；
（2）如果OA與OB垂直，求a的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)直線和雙曲線的位置關(guān)系，即可求a的取值范圍；
（2）根據(jù)條件以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，消去y，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系即可求實(shí)數(shù)a的值．

解答 解：（1）由直線y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1，
消去y，得（3-a²）x²-2ax-2=0，
依題意得$\left\{\begin{array}{l}{3-{a}^{2}≠0}\\{4{a}^{2}+8（3-{a}^{2}）＞0}\end{array}\right.$，
即-$\sqrt{6}$＜a＜$\sqrt{6}$且a≠±$\sqrt{3}$．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵（3-a²）x²-2ax-2=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2a}{3-{a}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{-2}{3-{a}^{2}}$，
∵以AB為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，
∴OA⊥OB，
即x₁x₂+y₁y₂=0，
則x₁x₂+（ax₁+1）（ax₂+1）=0，
則（a²+1）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0，
∴（a²+1）•$\frac{-2}{3-{a}^{2}}$+a•$\frac{2a}{3-{a}^{2}}$+1=0，
解得a=±1，滿足條件．

點(diǎn)評 本題主要考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的判斷和應(yīng)用，聯(lián)立方程利用根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．