Question

已知球O的表面上有P、A、B、C四點(diǎn),且PA、PB、PC兩兩互相垂直,若PA=PB=PC=a,求這個球的表面積和體積.

Answer 1

解析:設(shè)過P、A、B的平面截球所得的截面圓為⊙O₁,PO₁與球面的另一交點(diǎn)為D.

∵PB⊥PA,

∴AB是⊙O₁的直徑且AB==.

∵PC⊥PA,PC⊥PB,

∴PC⊥平面PAB.

又OO₁⊥平面PAB,∴OO₁∥PC.

過OO₁、PC作平面α,平面α截球面為大圓O.則直線DP為平面α和平面PAB的交線，點(diǎn)O₁∈PD,連結(jié)CD.在⊙O中,

∵PC⊥PD,∠CPD為直角,

∴CD為⊙O的直徑.

設(shè)⊙O的半徑為R,在Rt△CPD中,

CD=,即2R=,

∴R=.

∴S_球=4πR²=3πa²,V_球=πR³=πa³.