Question

在平面內(nèi)，點A、B、C分別在直線l₁、l₂、l₃上，l₁∥l₂∥l₃（l₂在l₁與l₃之間），l₁與l₂之間距離為1，l₂與l₃之間距離為2，且=•，則△ABC的面積最小值為

1. A.
   4
2. B.
   
3. C.
   2
4. D.
   

Answer 1

C
分析：由條件利用兩個向量垂直的條件可得 ．如圖所示，可得∠EAB=∠FBC=θ，且θ為銳角，利用Rt△ABE中的邊角關(guān)系可得AB=，BC=．
再根據(jù) S_△ABC=AB•BC=，可得當(dāng)θ=時，S_△ABC 取得最大值為2，從而得到答案．
解答：△ABC中，由=•，可得=0，∴=0，∴．
過點B作EF⊥l₂，交l₁于E，交l₃于F，如圖所示，
∵EF⊥l₂，l₁∥l₂∥l₃，∴EF⊥l₁⊥l₃，∴∠ABE+∠EAB=90°，∠AEB=∠BFC=90°．
又∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠FBC=90°，∴∠EAB=∠FBC=θ，且θ為銳角．
在△ABE和△BCF中，∵BE=1，BF=2，∴AB==，BC==．
∴S_△ABC=AB•BC=••=，故當(dāng)θ=時，S_△ABC 取得最大值為2．
故選C．
點評：本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、平行線之間的距離，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，并證明△ABE≌△BCF，屬于中檔題．