Question

設△ABC的頂點A（3，3），B（1，0），C（4，0），過BC邊上的點P（x，0）作BC的垂線，將△ABC分為兩部分，若靠近頂點B的一側的這一部分圖形的面積記為x的函數f（x）．
（Ⅰ） 試求f（x）的解析式；
（Ⅱ） 請作出函數f（x）的圖象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出過P點且與x垂直的直線方程與邊AB、AC的交點坐標，進而即可求出陰影部分的面積，即f（x）；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的解析式畫出圖象即可．

解答：解：（Ⅰ）如圖所示：
①當1≤x≤3時，由A（3，3），B（1，0），∴kAB=

3-0

3-1

=

3

2

，∴直線AB的方程為y=

3

2

(x-1)，即3x-2y-3=0，
∵PM⊥x軸，∴M(x，

3(x-1)

2

)，則S_△BMP=

1

2

|BP| |PM|=

3

4

(x-1)2（1≤x≤3）．
②當3＜x≤4時，由A（3，3），C（4，0），∴kAC=

3-0

3-4

=-3，∴直線AC的方程為y=-3（x-4），即3x+y-12=0．
∵PN⊥x軸，∴N（x，12-3x），∴S_{四邊形ABPN}=S_△ABC-S_△CPN=

1

2

×(4-1)×3-

1

2

×(4-x)(12-3x)=-

3

2

(x-4)2+

9

2

．
∴f（x）=

3 4 (x-1)2，當1≤x≤3時 - 3 2 (x-4)2+ 9 2 ，當3＜x≤4時

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的f（x）的解析式可畫出如下圖象：

點評：熟練掌握直線的方程的求法、面積計算方法及二次函數的圖象的畫法是解題的關鍵．