Question

如圖所示，在△ABC中，AC=1，，P為AB的中點，DC⊥平面ABC，EB∥DC，DC=EB=2．
（1）求證：AD∥平面PCE；
（2）求二面角A-CE-P的余弦值．

Answer 1

解：（1）連接BD交CE于點Q，連接PQ
∵EB∥DC，DC=EB，∴四邊形BCDE是平行四邊形，得Q為BD中點
由此可得△ABD中，PQ是中位線，可得PQ∥AD
∵PQ?平面PCE，AD?平面PCE，
∴AD∥平面PCE；…（6分）
（2）過點P作PF⊥AE于F，再過點F作FG⊥EC于G，連接PG
∵DC⊥平面ABC，EB∥DC，
∴EB⊥平面ABC，結(jié)合AC?平面ABC，得AC⊥EB
∵AC⊥AB，AB∩EB=B，∴AC⊥平面ABE
∵PF?平面ABE，∴AC⊥PF
∵AE⊥PF，AC∩AE=A，∴PF⊥平面ACE
∵FG⊥EC，F(xiàn)G是PG在平面ACE內(nèi)的射影
∴PG⊥EC，得∠PGF就是二面角A-CE-P的平面角
∵Rt△ABE中，AB=3，BE=2，P為AB中點，且PF⊥AE
∴由△ABE∽△AFP，得PF=
同理：由△ACE∽△FGE，得GF=
∴Rt△PFG中，PG==
因此，cos∠PGF==，即二面角A-CE-P的余弦值等于．…（12分）
分析：（1）連接BD交CE于點Q，連接PQ，可得PQ是△ABD的中位線，得PQ∥AD，結(jié)合線面平行判定定理可得AD∥平面PCE；
（2）過點P作PF⊥AE于F，再過點F作FG⊥EC于G，連接PG．根據(jù)線面垂直的判定與性質(zhì)，可得PG⊥EC，得∠PGF就是二面角A-CE-P的平面角．Rt△PFG中，算出FG、PG的長，可得cos∠PGF==，即二面角A-CE-P的余弦值．
點評：本題在特殊多面體中，證明線面平行并且求二面角的余弦值，著重考查了直線與平面平行的判定，二面角的平面角的定義及求法等知識，屬于中檔題．