Question

如圖一邊長為30cm的正方形鐵皮，四角各截去一個(gè)大小相同的小正方形，然后折起來做成一個(gè)無蓋的長方體盒子，小盒子的容積V（單位：cm³）是關(guān)于截去的小正方形的邊長x（單位：cm）的函數(shù)．寫出V關(guān)于x的函數(shù)式，x為多少時(shí)小盒子的容積最大？最大容積是多少？

Answer 1

解：設(shè)小正方形邊長為x，鐵盒體積為V．
V=（30-2x）²•x=4x³-120x²+900x．
V′=12x²-240x+900=12（x-5）（x-15）．
∵30-2x＞0，
∴0＜x＜15．
∴x=5時(shí)，V_max=2100．
x為8時(shí)小盒子的容積最大，最大容積是2100cm³．
分析：據(jù)題意先設(shè)小正方形邊長為x，計(jì)算出鐵盒體積的函數(shù)解析式，再利用導(dǎo)數(shù)研究此函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得此函數(shù)的最大值即可．
點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．解決實(shí)際問題通常有四個(gè)步驟：（1）閱讀理解，認(rèn)真審題；（2）引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，建立數(shù)學(xué)模型；（3）利用數(shù)學(xué)的方法，得到數(shù)學(xué)結(jié)果；（4）轉(zhuǎn)譯成具體問題作出解答，其中關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型．