Question

已知正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁，面對(duì)角線AB₁，BC₁上分別有點(diǎn)E，F(xiàn)，且B₁E＝C₁F．求證：EF∥平面ABCD．

Answer 1

答案：
解析：

分析：要在平面ABCD內(nèi)找一條直線與直線EF平行，可根據(jù)正方體中的垂直關(guān)系，通過作EM⊥AB，F(xiàn)N⊥BC來構(gòu)成一個(gè)平行四邊形，從而找到所要的直線． 　　證明：如圖，過E，F(xiàn)分別作AB，BC的垂線，垂足分別為M，N，連接MN． 　　因?yàn)锽B1⊥AB，BB1⊥BC， 　　所以EM∥BB1，F(xiàn)N∥BB1． 　　所以EM∥FN． 　　因?yàn)锳B1＝BC1，B1E＝C1F， 　　所以AE＝BF． 　　又∠B1AB＝∠C1BC＝45°， 　　所以Rt△AME≌Rt△BNF， 　　所以EM＝FN． 　　所以四邊形MNFE是平行四邊形， 　　所以EF∥MN． 　　又MN平面ABCD，EF平面ABCD， 　　所以EF∥平面ABCD． 　　點(diǎn)評(píng)：由已知想性質(zhì)，由求證想判定，兩者結(jié)合起來考慮，這是證明位置關(guān)系問題常用的解題思路．