【答案】
分析:(Ⅰ)當b=0,時,f(x)=ax
2-4x,討論a的取值,結合二次函數(shù)的單調性建立a的不等關系即可;
(Ⅱ)討論a為0時不可能,要使f(x)有最大值,必須滿足
,求出此時的x=x
,根據(jù)g(x)取最小值時,x=x
=a,建立等量關系,結合a是整數(shù),求出a和b的值.
(Ⅲ)當實數(shù)對(a,b)是(-1,-1),(-1,3)時,f(x)=-x
2-2x,依題意,只需構造以2(或2的正整數(shù)倍)為周期的周期函數(shù)即可.
解答:解:(Ⅰ)當b=0時,f(x)=ax
2-4x,
若a=0,f(x)=-4x,則f(x)在[2,+∞)上單調遞減,不符題意.
故a≠0,要使f(x)在[2,+∞)上單調遞增,必須滿足
,∴a≥1.
(Ⅱ)若a=0,
,則f(x)無最大值,故a≠0,∴f(x)為二次函數(shù),
要使f(x)有最大值,必須滿足
,即a<0且
,
此時,
時,f(x)有最大值.
又g(x)取最小值時,x=x
=a,依題意,有
,則
,
∵a<0且
,∴
,得a=-1,此時b=-1或b=3.
∴滿足條件的實數(shù)對(a,b)是(-1,-1),(-1,3).
(Ⅲ)當實數(shù)對(a,b)是(-1,-1),(-1,3)時,f(x)=-x
2-2x
依題意,只需構造以2(或2的正整數(shù)倍)為周期的周期函數(shù)即可.
如對x∈(2k-2,2k),k∈N,x-2k∈(-2,0),
此時,h(x)=h(x-2k)=f(x-2k)=-(x-2k)
2-2(x-2k),
故h(x)=-(x-2k)
2-2(x-2k),x∈(2k-2,2k),k∈N.
點評:本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合問題.等差關系的確定、函數(shù)單調性的應用,以及函數(shù)的最值及其幾何意義,屬于中檔題.