Question

設定義在區(qū)間[x₁，x₂]上的函數(shù)y=f（x）的圖象為C，M是C上的任意一點，O為坐標原點，設向
量=（x₁，f（x₁）），，=（x，y），當實數(shù)λ滿足x=λ x₁+（1-λ） x₂時，記向量=λ+（1-λ）．定義“函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[x₁，x₂]上可在標準k下線性近似”是指“k恒成立”，其中k是一個確定的正數(shù)．
（1）設函數(shù) f（x）=x²在區(qū)間[0，1]上可在標準k下線性近似，求k的取值范圍；
（2）求證：函數(shù)g（x）=lnx在區(qū)間[e^m，e^m+1]（m∈R）上可在標準k=下線性近似．
（參考數(shù)據(jù)：e=2.718，ln（e-1）=0.541）

Answer 1

解：（1）由=λ+（1-λ）得到=λ，
所以B，N，A三點共線，（2分）
又由x=λx₁+（1-λ）x₂與向量=λ+（1-λ），得N與M的橫坐標相同．（4分）
對于[0，1]上的函數(shù)y=x²，A（0，0），B（1，1），
則有，故；
所以k的取值范圍是．（6分）
（2）對于[e^m，e^m+1]上的函數(shù)y=lnx，
A（e^m，m），B（e^m+1，m+1），（8分）
則直線AB的方程，（10分）
令，其中x∈[e^m，e^m+1]（m∈R），
于是，（13分）
列表如下：

x	em	（em，em+1-em）	em+1-em	（em+1-em，em+1）	em+1
h'（x）		+	0	-
h（x）	0	增	h（em+1-em）	減	0

則=h（x），且在x=e^m+1-e^m處取得最大值，
又0.123，從而命題成立．（16分）
分析：（1）先由=λ+（1-λ）得到=λ，得B，N，A三點共線；又由x=λx₁+（1-λ）x₂與向量=λ+（1-λ），得N與M的橫坐標相同．利用兩點間的距離公式以及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法即可求出|NM|，進而得到k的取值范圍；
（2）先求出A，B兩點的坐標以及直線AB的方程，設出函數(shù)，并利用其導函數(shù)求出函數(shù)的最值，最后利用=h（x），即可證明結論．
點評：本題是在新定義下考查向量共線知識以及利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．是對知識的綜合考查，屬于難題．本題的關鍵在于理解定義．