Question

已知A，B是拋物線x²=2py（p＞0）上的兩個動點，O為坐標(biāo)原點，非零向量滿足．
（Ⅰ）求證：直線AB經(jīng)過一定點；
（Ⅱ）當(dāng)AB的中點到直線y-2x=0的距離的最小值為時，求p的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證直線經(jīng)過定點，只需找到直線方程，在驗證不管參數(shù)為何值都過某一定點即可，可根據(jù)判斷直線OA，OB垂直，設(shè)AB方程，根據(jù)OA，OB垂直消去一些參數(shù)，再進行判斷．
（Ⅱ）設(shè)AB中點的坐標(biāo)根據(jù)OA，OB垂直，可得AB中點坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，再用點到直線的距離公式求AB的中點到直線y-2x=0的距離的，求出最小值，讓其等于，解參數(shù)p即可．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴OA⊥OB．設(shè)A，B兩點的坐標(biāo)為（x₁，y₁），（x₂，y₂）則 x₁²=2py₁，x₂²=2py₂．
經(jīng)過A，B兩點的直線方程為（x₂-x₁）（y-y₁）=（y₂-y₁）（x-x₁）．
由，得．
∵．令x=0，得，
∴．
∵OA⊥OB
∴x₁x₂+y₁y₂=0，從而．
∵x₁x₂≠0（否則，有一個為零向量），
∴x₁x₂=-4p²．代入①，得 y=2p，
∴AB始終經(jīng)過定點（0，2p）．
（Ⅱ）設(shè)AB中點的坐標(biāo)為（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，
∴x₁²+x₂²=2py₁+2py₂=2p（y₁+y₂）．
又∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（x₁+x₂）²+8p²，
∴4x²+8p²=4py，
即 ．…①
AB的中點到直線y-2x=0的距離．
將①代入，得．
因為d的最小值為，
∴，
∴p=2．
點評：本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系的判斷，注意韋達(dá)定理的應(yīng)用．