有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其切割、焊接成一個長方體無蓋容器(切、焊損耗忽略不計)．有人應用數(shù)學知識作如下設計：在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高是小正方形的邊長．

(1)請你求出這種切割、焊接而成的長方體容器的最大容積V1；

(2)請你判斷上述方案是否是最佳方案，若不是，請設計一種新方案，使材料浪費最少，且所得長方體容器的容積V2＞V1．

答案：
解析：

　　解：(1)設切去正方形邊長為x，則焊接成的長方體的底面邊長為4－2x，高為x，

　　∴V1＝(4－2x)2x＝4(x3－4x2＋4x)(0＜x＜2)．　2分

　　＝4(3x2－8x＋4)＝12(x－)(x－2)．　4分

　　當0＜x＜時，＞0；當＜x＜2時，＜0．　6分

　　∴當x＝時，V1取最大值．　8分

　　(2)重新設計方案如下：

　　如圖①，在正方形的兩個角處各切下一個邊長為1的小正方形；如圖②，將切下的小正方形焊在未切口的正方形一邊的中間；將圖②焊成長方體容器．

　　新焊長方體容器底面是一長方形，長為3，寬為2，此長方體容積V2＝3×2×1＝6，顯然V2＞V1．故第二種方案符合要求．　12分

　　V1．故第二種方案符合要求．　12分


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其進行切割、焊接成一個長方體形無蓋容器（切、焊損耗忽略不計）．有人應用數(shù)學知識作了如下設計：如圖（a），在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高為小正方形邊長，如圖（b）．
（1）請你求出這種切割、焊接而成的長方體的最大容積V1；
（2）由于上述設計存在缺陷（材料有所浪費），請你重新設計切、焊方法，使材料浪費減少，而且所得長方體容器的容積V2＞V1．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011屆山西省介休市十中高三下學期模擬考試理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分12分）
有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其切割、焊接成一個長方體無蓋容器（切、焊損耗忽略不計）.有人應用數(shù)學知識作如下設計：在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高是小正方形的邊長.
（1）請你求出這種切割、焊接而成的長方體容器的最大容積V1；
（2）請你判斷上述方案是否是最佳方案，若不是，請設計一種新方案，使材料浪費最少，且所得長方體容器的容積V2＞V1.

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆湖北省高二下學期期中理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（12分）有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其切割、焊接成一個長方體無蓋容器（切、焊損耗忽略不計）。有人應用數(shù)學知識作如下設計：在鋼板的四個角處各切去一個全等的小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高是小正方形的邊長。

（1）請你求出這種切割、焊接而成的長方體容器的最大容積；

（2）請你判斷上述方案是否是最佳方案，若不是，請設計一種新方案，使材料浪費最少，且所得長方體容器的容積。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山西省介休市高三下學期模擬考試理科數(shù)學 題型：解答題

（本小題滿分12分）

有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其切割、焊接成一個長方體無蓋容器（切、焊損耗忽略不計）.有人應用數(shù)學知識作如下設計：在鋼板的四個角處各切去一個小正方形，剩余部分圍成一個長方體，該長方體的高是小正方形的邊長.

（1）請你求出這種切割、焊接而成的長方體容器的最大容積V1；

（2）請你判斷上述方案是否是最佳方案，若不是，請設計一種新方案，使材料浪費最少，且所得長方體容器的容積V2＞V1.

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年廣東省高二上學期第一次段考理科數(shù)學卷 題型：解答題

(本題滿分14分)．有一塊邊長為4的正方形鋼板，現(xiàn)對其切割、焊接成一個長方體形無蓋容器(切、焊損耗忽略不計)．有人應用數(shù)學知識作如下設計：在鋼板的四個角處各切去一個邊長為的小正方形，剰余部分圍成一個長方體，該長方體的高是小正方形的邊長．

(1)請你求出這種切割、焊接而成的長方體容器的的容積V1（用表示）；

(2)經(jīng)過設計（1）的方法，計算得到當時，Vl取最大值，為了材料浪費最少，工人師傅還實踐出了其它焊接方法，請寫出與（1）的焊接方法更佳（使材料浪費最少，容積比Vl大）的設計方案，并計算利用你的設計方案所得到的容器的容積。

 

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