Question

已知f(n)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

(n∈N*)，g(n)=2(

n+1

-1)(n∈N*)．
（1）當(dāng)n=1，2，3時(shí)，分別比較f（n）與g（n）的大�。ㄖ苯咏o出結(jié)論）；
（2）由（1）猜想f（n）與g（n）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）先令n=1，2，3．分別求得f（n）和g（n），再通過(guò)計(jì)算比較它們的大小即可；
（2）通過(guò)前3項(xiàng)進(jìn)行歸納猜想，用數(shù)學(xué)歸納法證明．檢驗(yàn)n取第一個(gè)值時(shí)，等式成立，假設(shè)n=k時(shí)成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)也成立，即可得到猜想成立．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，f（1）=1，g(1)=2(

2

-1)，f（1）＞g（1），
當(dāng)n=2時(shí)，f(2)=1+

1

2

，g(2)=2(

3

-1)，f（2）＞g（2），
當(dāng)n=3時(shí)，f(3)=1+

1

2

+

1

3

，g（3）=2，f（3）＞g（3）．
（2）猜想：f（n）＞g（n）（n∈N^*），即1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2(

n+1

-1) (n∈N*)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，上面已證．
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即1+

1

2

+

1

3

++

1

k

＞2(

k+1

-1)
則當(dāng)n=k+1時(shí)，f(k+1)=1+

1

2

+

1

3

++

1

k

+

1

k+1

＞2(

k+1

-1)+

1

k+1

=2

k+1

+

1

k+1

-2；
而g(k+1)=2(

k+2

-1)=2

k+2

-2，下面轉(zhuǎn)化為證明：2

k+1

+

1

k+1

＞2

k+2

只要證：2(k+1)+1=2k+3＞2

(k+2)(k+1)

，需證：（2k+3）²＞4（k+2）（k+1），
即證：4k²+12k+9＞4k²+12k+8，此式顯然成立．所以，當(dāng)n=k+1時(shí)猜想也成立．
綜上可知：對(duì)n∈N^*，猜想都成立，
即1+

1

2

+

1

3

++

1

n

＞2(

n+1

-1) (n∈N*)成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查歸納推理，用數(shù)學(xué)歸納法證明等式，證明故當(dāng)n=k+1時(shí)，猜想也成立，是解題的難點(diǎn)和關(guān)鍵．