Question

（本小題滿分12分）甲、乙兩運動員進行射擊訓練，已知他們擊中的環(huán)數(shù)都穩(wěn)定在7，8，9，10環(huán)，且每次射擊成績互不影響．射擊環(huán)數(shù)的頻率分布條形圖如下：

若將頻率視為概率，回答下列問題．(Ⅰ)求甲運動員在3次射擊中至少有1次擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的概率； (Ⅱ)若甲、乙兩運動員各自射擊1次，ξ表示這2次射擊中擊中9環(huán)以上(含9環(huán))的次數(shù)，求ξ的分布列及Eξ．

Answer 1

（I）p= 0.992（II）Eξ=1.55．

解法一：(Ⅰ)甲運動員擊中10環(huán)的概率是：1一0.1—0.1—0.45="0.35."
設事件A表示“甲運動員射擊一次，恰好命中9環(huán)以上(含9環(huán)，下同)”， 則P(A)="0.35+0.45=0.8."
事件“甲運動員在3次射擊中，至少1次擊中9環(huán)以上”包含三種情況：恰有1次擊中9環(huán)以上，概率為p₁=C·0.8¹·(1-0.8)²=0.096； 恰有2次擊中9環(huán)以上，概率為p₂=C·0.8²·(1-0.8)¹=0.384；
恰有3次擊中9環(huán)以上，概率為p₃=C·0.8³·(1-0.8)⁰=0.512． 因為上述三個事件互斥，所以甲運動員射擊3次，至少1次擊中9環(huán)以上的概率p= p₁+ p₂+ p₃=0.992．
(Ⅱ)記“乙運動員射擊1次，擊中9環(huán)以上”為事件B，  則P(B)=1—0.1—0.15=0.75．
因為表示2次射擊擊中9環(huán)以上的次數(shù)，所以的可能取值是0，1，2.
因為P(=2)=0.8·0.75=0.6；   P(=1)=0.8·(1-0.75)+(1-0.8)·0.75=0.35；
P(=0)=(1-0.8)·(1-0.75)=0.05．    所以的分布列是

ξ	0	1	2
P	0.05	0.35	0.6

   所以Eξ=0×0.05+1×0.35+2×0.6=1.55．
解法二：
(Ⅰ)設事件A表示“甲運動員射擊一次，恰好命中9環(huán)以上”(含9環(huán)，下同)，
則P(A)=１－0.1－0.1=0.8．
甲運動員射擊3次，均未擊中9環(huán)以上的概率為
P₀=C·0.8⁰·(1-0.8)³=0.008．
所以甲運動員射擊3次，至少1次擊中9環(huán)以上的概率P=1-P₀=0.992．
(Ⅱ)同解法一．