Question

已知函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5 3

2

．
（1）確定函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜

π

2

）個(gè)單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱，求φ的值．

Answer 1

分析：（1）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為5sin（2x-

π

3

），令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求出x的范圍，即可得到函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（2）平移后得到函數(shù)y=5sin（2x+2∅-

π

3

）的圖象，其對稱軸方程為2x+2∅-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，再由對稱軸為y軸可得∅=

kπ

2

+

5π

12

，再由0＜φ＜

π

2

可得∅的值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=5sinxcosx-5

3

cos²x+

5 3

2

=

5

2

sin2x-

5

2

3

（1+cos2x）+

5

2

3

=5（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）=5sin（2x-

π

3

）．
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈z．
故增區(qū)間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈z．
（2）將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移φ（0＜φ＜

π

2

）個(gè)單位長度，得函數(shù)y=5sin[2（x+∅）-

π

3

]=5sin（2x+2∅-

π

3

）的圖象，其對稱軸方程為2x+2∅-

π

3

=kπ+

π

2

，k∈z，
再由對稱軸為y軸可得∅=

kπ

2

+

5π

12

．
再由0＜φ＜

π

2

可得∅=

5π

12

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，三角函數(shù)的對稱性、單調(diào)性，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換，屬于中檔題．