Question

已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=-1相切．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設過點P，且傾斜角為120°的直線與曲線M相交于A，B兩點，A，B在直線l上的射影是A₁，B₁．
①求梯形AA₁B₁B的面積；
②若點C是線段A₁B₁上的動點，當△ABC為直角三角形時，求點C的坐標．

Answer 1

解：（1）曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，其方程為y²=4x．
（2）①由題意得，直線AB的方程為y=-（x-1），
由 消y得
3x²-10x+3=0，解得x₁=，x₂=3
于是，A點和B點的坐標分別為A（，），B（3，-2），
所以|A₁B₁|=+=，|AA₁|+|BB₁|=x₁+x₂+2=
S=（|AA₁|+|BB₁|）|A₁B₁|=
②設C（-1，y）使△ABC成直角三角形，
|AC|²=（-1-）²+（y-）²=-+y²，
|BC|²=（3+1）²+（y+）²=28+4y+y²，
|AB|²==．
（i） 當∠A=90°時，得直線AC的方程為y-=（x-），
求得C點的坐標是（-1，-）．
（ii） 因為∠ABB₁=60°，所以，∠ABC不可能為直角．
（iii）當∠C=90°時，由幾何性質(zhì)得C點是A₁B₁的中點，即C點的坐標是（-1，）．
故當△ABC為直角三角形時，點C的坐標是（-1，-）或（-1，）．
分析：（1）根據(jù)拋物線的定義，可知動圓圓心的軌跡為拋物線，再利用拋物線的標準方程求出動圓圓心的軌跡M的方程．
（2）①根據(jù)直線的傾斜角為120°，可得到直線的斜率，再根據(jù)直線過定點P（1，0），就可用直線方程的點斜式寫出直線方程，再與（1）中所求拋物線方程聯(lián)立，解出A，B點坐標，求出，|AA₁|+|BB₁|，再利用梯形的面積公式，求出梯形AA₁B₁B的面積．
②因為△ABC為直角三角形，沒有給出那一個角是直角，所以分三種情況討論，（i）∠A=90°，（ii）∠ABC=90°，
（iii）∠C=90°，分別求出P點坐標．
點評：本題主要考查了定義法求點的軌跡方程，以及拋物線中，由焦點弦，準線，焦點弦的兩個端點到準線的垂線段組成的梯形的性質(zhì)．