Question

（理）若關(guān)于x的不等式

1

2

lg(1-x2)-lg(ax+b)＞0的解集為(-

2

3

，

1

2

)，則滿足條件的所有實數(shù)對（a，b）共有

3

對．

Answer 1

分析：由關(guān)于x的不等式

1

2

lg(1-x2)-lg(ax+b)＞0的解集為(-

2

3

，

1

2

)，推導(dǎo)出

1-x2

ax+b

＞1的解集為(-

2

3

，

1

2

)，由此能得到滿足條件的所有實數(shù)對（a，b）共有3對．

解答：解：∵

1

2

lg(1-x2)-lg(ax+b)＞0，
∴l(xiāng)g

1-x2

ax+b

＞0，
∴

1-x2

ax+b

＞1，
∵關(guān)于x的不等式

1

2

lg(1-x2)-lg(ax+b)＞0的解集為(-

2

3

，

1

2

)，
∴

1-x2

ax+b

＞1的解集為(-

2

3

，

1

2

)，
滿足條件的a，b有三種情況：
①x=-

2

3

和x=

1

2

時，

1-x2

ax+b

=1同時存在；
②x=-

2

3

時，

1-x2

ax+b

=1，x=

1

2

時，ax+b=0；
③x=

1

2

時，

1-x2

ax+b

=1，x=-

2

3

時，ax+b=0．
∴

1-(- 2 3 )2 - 2 3 a+b =1 1-( 1 2 )2 1 2 a+b =1

，或

1-(- 2 3 )2 - 2 3 a+b =1 1 2 a+b=0

，或

1-( 1 2 )2 1 2 a+b =1 - 2 3 a+b=0

，
∴滿足條件的所有實數(shù)對（a，b）共有3對．
故答案為：3．

點評：本題考查對數(shù)不等式的解法和應(yīng)用，解題時要認真審題，注意對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．