Question

（2013•宜賓二模）如圖，軸截面為邊長(zhǎng)為4

3

等邊三角形的圓錐，過底面圓周上任一點(diǎn)作一平面α，且α與底面所成二面角為

π

6

，已知α與圓錐側(cè)面交線的曲線為橢圓，則此橢圓的離心率為（　�。�

• A．

  3

  4

• B．

  3

  2

• C．

  3

  3

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：設(shè)軸截面為SEF，橢圓中心為0、長(zhǎng)軸為FH，延長(zhǎng)S0交EF于點(diǎn)B，取SB中點(diǎn)G，連結(jié)GH．設(shè)OC是橢圓的短半軸，延長(zhǎng)SC交底面圓于點(diǎn)A，連結(jié)AB．根據(jù)正△SEF中∠HFE=

1

2

∠SEF得FH⊥SE，算出FH=6，即橢圓的長(zhǎng)軸2a=6．利用△SBE的中位線和△OBF≌△OGH，算出BF=

1

3

EF=

4 3

3

，從而在底面圓中算出AB=

4 6

3

，進(jìn)而在△SAB中，利用平行線分線段成比例，得OC=

3

4

AB=

6

，即橢圓短半軸b=

6

．最后由橢圓的平方關(guān)系算出c=

3

，從而可得該橢圓的離心率．

解答：解：設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為S，軸截面為SEF，過F的一平面α與底面所成角為

π

6

，α與母線SE交于點(diǎn)H，
α與圓錐側(cè)面相交所得的橢圓中心設(shè)為0，延長(zhǎng)S0交EF于點(diǎn)B，取SB中點(diǎn)G，連結(jié)GH
設(shè)OC是橢圓的短半軸，則OC⊥平面SEF，延長(zhǎng)SC交底面圓于點(diǎn)A，連結(jié)AB
∵△SEF是等邊三角形，∠HFE就是α與底面所成角
∴由∠HFE=

π

6

=

1

2

∠SEF，得FH⊥SE
Rt△EFH中，F(xiàn)H=EFcos

π

6

=4

3

×

3

2

=6，即橢圓的長(zhǎng)軸2a=6
∵GH是△SBE的中位線，得GH

∥

.

1

2

BE
∴結(jié)合△OBF≌△OGH，得BF=GH=

1

2

BE，可得BF=

1

3

EF=

4 3

3

設(shè)M為底面圓的圓心，則可得BM=

1

6

EF=

2 3

3

∴⊙M中，可得AB=

AM2-BM2

=

(2 3 )2-( 2 3 3 )2

=

4 6

3

∵△SAB中，OC∥AB且

SO

SB

=

3

4

∴

OC

AB

=

SO

SB

=

3

4

，可得OC=

3

4

AB=

6

，橢圓的短半軸b=

6

因此，橢圓的半焦距c=

a2-b2

=

3

，橢圓的離心率e=

c

a

=

3

3

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題給出圓錐的軸截面為正三角形，求與底面成30度角的平面截圓錐的側(cè)面所得橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、圓錐的幾何性質(zhì)和平面幾何有關(guān)計(jì)算等知識(shí)，屬于中檔題．