Question

已知圓，直線。

（Ⅰ）求證：對，直線與圓C總有兩個不同交點.

（Ⅱ）設與圓C交于不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）.

【解析】本試題主要考查了直線與圓的位置關系的運用。

解：

（1）

解法一：

圓的圓心為，半徑為。

∴圓心C到直線的距離…………3分

∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點；……………………6分

 

解法二：

由方程可得：m(x-1)-y+1=0,令x=1,則y=1

∴對于恒過定點P(1,1),又1²+(1-1)²<5     ………………………3分

∴P點在圓C內部

∴直線與圓C相交，即直線與圓C總有兩個不同交點； ……………………6分

（2）由（1）得過定點P(1,1)

當M與P不重合時，連結CM、CP，則，

∴  （或者k_CM.k_MP=-1）………………………………………9分

設，則，

化簡得：

當M與P重合時，也滿足上式。

故弦AB中點的軌跡方程是 ……………………12分