Question

3．已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（c＞0）為偶函數(shù)，函數(shù)y=f（x）的圖象在（1，f（1））處切線與直線2x-y-3=0平行，函數(shù)g（x）=$\frac{e^x}{f（x）}$．
（1）求a，b的值；
（2）討論g（x）的單調(diào)性；
（3）若x₀為g（x）的極小值點(diǎn)，求g（x₀）的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（c＞0）為偶函數(shù)，可得b=0，利用函數(shù)y=f（x）的圖象在（1，f（1））處切線與直線2x-y-3=0平行，得2a=2；
（2）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，即可討論g（x）的單調(diào)性；
（3）x₀=$\sqrt{1-c}$，g（x₀）=${e}^{\sqrt{1-c}}$，即可求g（x₀）的取值范圍．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（c＞0）為偶函數(shù)，
∴b=0，
∴f′（x）=2ax，
∵函數(shù)y=f（x）的圖象在（1，f（1））處切線與直線2x-y-3=0平行，
∴2a=2，
∴a=1；
（2）g（x）=$\frac{e^x}{f（x）}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}+c}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（{x}^{2}-2x+c）}{（{x}^{2}+c）^{2}}$，
∴c≥1時，x²-2x+c≥0恒成立，g（x）在R上單調(diào)遞增；
0＜c＜1，函數(shù)在（1-$\sqrt{1-c}$，1+$\sqrt{1-c}$）上單調(diào)遞減，在（-∞，-$\sqrt{1-c}$），（$\sqrt{1-c}$，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）x₀=$\sqrt{1-c}$，g（x₀）=${e}^{\sqrt{1-c}}$，
∵0＜c＜1，
∴0＜1-c＜1，
∴g（x₀）=${e}^{\sqrt{1-c}}$∈（1，e）．

點(diǎn)評 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．