Question

設函數f（x）的定義域是R，對于任意實數m，n，恒有f（m+n）=f（m）+f（n），
（1）求證f（0）=0；
（2）判斷f（x）在R上的奇偶性并證明．

Answer 1

分析：（1）根據對于任意實數m，n，恒有f（m+n）=f（m）+f（n），對m，n進行賦值，都取0即可求出所求；
（2）令f（m+n）=f（m）+f（n）中的m=x，n=-x，結合f（0）=0，根據函數奇偶性的定義可判定．

解答：證明：（1）∵對于任意實數m，n，恒有f（m+n）=f（m）+f（n），
∴令m=n=0，可得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0；
（2）∵對于任意實數m，n，恒有f（m+n）=f（m）+f（n），
∴令m=x，n=-x，可得f（x-x）=f（x）+f（-x），
∵f（0）=0，
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x），
故f（x）在R上是奇函數．

點評：本題考查了抽象函數及其應用，函數奇偶性的判斷．解決抽象函數的函數值的問題一般會利用賦值法求解．奇偶性的判斷一般應用奇偶性的定義和圖象，要注意先考慮函數的定義域是否關于原點對稱．屬于中檔題．