Question

已知函數(shù)f(x)=

lnx+a

x

(a∈R)．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖象與函數(shù)g（x）=1的圖象在區(qū)間（0，e²]上有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f'（x）=

1-(lnx+a)

x 2

令f'（x）=0得x=e^1-a
當(dāng)x∈（0，e^1-a）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）是增函數(shù)
當(dāng)x∈（e^1-a，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）是減函數(shù)
∴f（x）在x=e^1-a處取得極大值，f（x）_極大值=f（e^1-a）=e^a-1
（Ⅱ）（i）當(dāng)e^1-a＜e²時(shí)，a＞-1時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）在（0，e^1-a）上是增函數(shù)，在（e^1-a，e²]上是減函數(shù)
∴f（x）_max=f（e^1-a）=e^a-1
又當(dāng)x=e^-a時(shí)，f（x）=0，當(dāng)x∈（0，e^-a]時(shí)f（x）＜0．
當(dāng)x∈（e^-a，e²]時(shí)，f（x）∈（0，e^a-1]，所以f（x）與圖象g（x）=1的圖象在（0，e²]上有公共點(diǎn)，等價(jià)于e^a-1≥1
解得a≥1，又a＞-1，所以a≥1
（ii）當(dāng)e^1-a≥e²即a≤-1時(shí)，f（x）在（0，e²]上是增函數(shù)，
∴f（x）在（0，e²]上的最大值為f（e²）=

2+a

e2

所以原問(wèn)題等價(jià)于

2+a

e2

≥1，解得a≥e²-2．
又∵a≤-1，∴無(wú)解
綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是a≥1