Question

9．已知函數(shù)y=$\sqrt{m{x}^{2}-6mx+9m+8}$的定義域是R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 由函數(shù)y=$\sqrt{m{x}^{2}-6mx+9m+8}$的定義域是R，可得對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，mx²-6mx+9m+8≥0恒成立，然后分m=0和m≠0分類求解，當(dāng)m≠0時(shí)，只要二次三項(xiàng)式
mx²-6mx+9m+8對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)開口向上，且判別式小于等于0即可．

解答 解：∵函數(shù)y=$\sqrt{m{x}^{2}-6mx+9m+8}$的定義域是R，
∴對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，mx²-6mx+9m+8≥0恒成立，
當(dāng)m=0時(shí)，mx²-6mx+9m+8=8≥0恒成立；
當(dāng)m≠0時(shí)，要使mx²-6mx+9m+8≥0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{m＞0}\\{△=（-6m）^{2}-4m（9m+8）≤0}\end{array}\right.$，解得：m＞0．
綜上，使函數(shù)y=$\sqrt{m{x}^{2}-6mx+9m+8}$的定義域是R的實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的定義域及其求法，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用“三個(gè)二次”結(jié)合求參數(shù)的范圍，是基礎(chǔ)題．