Question

某電視臺舉辦的闖關(guān)節(jié)目共有五關(guān)，只有通過五關(guān)才能獲得獎金，規(guī)定前三關(guān)若有失敗即結(jié)束，后兩關(guān)若有失敗再給一次從失敗的關(guān)開始繼續(xù)向前闖的機(jī)會．已知某人前三關(guān)每關(guān)通過的概率都是

2

3

，后兩關(guān)每關(guān)通過的概率都是

1

2

．
（1）求該人獲得獎金的概率；
（2）設(shè)該人通過的關(guān)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）設(shè)A_n（n=1，2，3，4，5）表示該人通過第n關(guān)，則該人獲得獎金的概率為P=P（A₁A₂A₃A₄A₅）+P（A1A2A3

.

A4

A4A5）+P（A1A2A3A4

.

A5

A5），即可求得結(jié)論；
（2）確定變量的取值，求出相應(yīng)的概率，即可求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）設(shè)A_n（n=1，2，3，4，5）表示該人通過第n關(guān)，則A_n（n=1，2，3，4，5）相互獨(dú)立，且P（A_n）=

2

3

（n=1，2，3），P（A₄）=P（A₅）=

1

2

∴該人獲得獎金的概率為P=P（A₁A₂A₃A₄A₅）+P（A1A2A3

.

A4

A4A5）+P（A1A2A3A4

.

A5

A5）
=(

2

3

)3×(

1

2

)2+2×(

2

3

)3×(

1

2

)3=

4

27

；
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5，則
P（ξ=0）=

1

3

；P（ξ=1）=

2

3

×

1

3

=

2

9

；P（ξ=2）=

2

3

×

2

3

×

1

3

=

4

27

；P（ξ=3）=

2

3

×

2

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

=

2

27

；
P（ξ=4）=

2

3

×

2

3

×

2

3

×

1

2

×

1

2

×

1

2

×2=

2

27

；P（ξ=5）=

4

27

，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
P	1 3	2 9	4 27	2 27	2 27	4 27

∴Eξ=1×

2

9

+2×

4

27

+3×

2

27

+4×

2

27

+5×

4

27

=

16

9

．

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．