Question

．已知函數(shù)f ( x ) = 3^x , f ( a + 2 ) = 18 , g ( x ) =· 3^ax – 4^x的定義域?yàn)閇0，1].

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）若函數(shù)g ( x )在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）a = log₃2 ；（Ⅱ）2

【解析】（1）由f（a+2）=18列出關(guān)于a的方程，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出a；

（2）把a(bǔ)的值代入g（x）的解析式，設(shè)0≤x₁＜x₂≤1，由減函數(shù)的定義知g（x₂）-g（x₁）＜0在[0，1]上恒成立，用分析法和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求出λ的范圍.

解：（Ⅰ）由已知得   3^a+2 = 183^a = 2a = log₃2 …………… 3分

（Ⅱ）此時(shí)  g ( x ) =· 2^x – 4^x       ……………………………… 6分

設(shè)0x₁＜x₂1，因?yàn)間 ( x )在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)減函數(shù)

所以    g ( x₁ ) = g ( x₂ ) =0成立 … 10分

即  +恒成立      由于+＞2⁰ + 2⁰ = 2

所以    實(shí)數(shù)的取值范圍是2 ……………………………… 12分

解法二：（Ⅰ）由已知得   3^a+2 = 183^a = 2a = log₃2 …………… 3分

（Ⅱ）此時(shí)  g ( x ) =· 2^x – 4^x       ……………………………… 6分

因?yàn)間 ( x )在區(qū)間[0，1]上是單調(diào)減函數(shù)

所以有  g ( x )′=ln2 · 2^x – ln 4 · 4^x = ln 2[2 · (2^x)² + · 2^x ] 0成立…10分

設(shè)2^x = u∈[ 1 , 2 ]     ## 式成立等價(jià)于 – 2u² +u0 恒成立.

因?yàn)閡∈[ 1 , 2 ]    只須    2u 恒成立，………………………… 12分

所以實(shí)數(shù)的取值范圍是2