Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx-x(x＞0) ex(x2+x+a)(x≤0)

，（其中a∈R，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜0；
（2）當(dāng)x≤0時(shí)，若函數(shù)φ（x）=f（x）-axe^x存在兩個(gè)相距小于2

3

的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：?n∈N^*，ln（n!）²＜n（n+1）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx-x；利用導(dǎo)數(shù)工具研究得出x=1是f（x）的最大值點(diǎn)，所以f（x）≤f（1）=0
（2）當(dāng)x≤0時(shí)，若函數(shù)φ（x）=f（x）-axe^x=e^x[x²+（1-a）x+a]，求導(dǎo)φ′（x）=e^x[x²+（3-a）x+1]，
φ′（x）的兩零點(diǎn)即為φ（x）的極值點(diǎn)：x₁+x₂=a-3，x₁x₂=1，x₁+x₂=a-3，x₁x₂=1，
（3）由（1）當(dāng)x＞0時(shí)，lnx＜x；所以ln（n!）=ln1+ln2+ln3+…lnn＜1+2+3+…n=

n(n+1)

2

，
而ln（n!）²=2ln（n!），不等式得證．

解答： 解：（1）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=lnx-x；f′（x）=

1

x

-1，當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＞0，
  當(dāng)x=1時(shí)，f′（x）=0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＜0，
∴x=1是f（x）的最大值點(diǎn)，∴f（x）≤f（1）=0
（2）當(dāng)x≤0時(shí)，若函數(shù)φ（x）=f（x）-axe^x=e^x[x²+（1-a）x+a]，
φ′（x）=e^x[x²+（3-a）x+1]，
設(shè)φ′（x）=0，則x²+（3-a）x+1=0，△=（3-a）²-4＞0，a＞5或a＜1①．
函數(shù)φ（x）的極值點(diǎn)x₁+x₂=a-3，x₁x₂=1，
|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

(a-3)2-4

≤2

3

，
解得-1＜a＜7②．
由①②得5＜a＜7或-1＜a＜1．
（3）由（1）當(dāng)x＞0時(shí)，lnx＜x；
∴l(xiāng)n（n!）=ln1+ln2+ln3+…lnn＜1+2+3+…n=

n(n+1)

2

ln（n!）²=2ln（n!）＜n（n+1），∴不等式成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，并運(yùn)用性質(zhì)解決問(wèn)題，考查放縮法證明不等式，考查分析解決問(wèn)題能力．