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【題目】已知橢圓的焦距為2，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為，為坐標原點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設斜率為的直線與橢圓相交于兩點，記面積的最大值為，證明：

【答案】（1）（2）見解析

【解析】【試題分析】（1）依據題設條件建立方程組求解；（2）先建立直線的方程。然后與橢圓方程聯立，再借助坐標之間的關系建立關于三角形面積的函數關系，通過計算進行推證：

（Ⅰ）解：由題意，得橢圓的半焦距，右焦點，上頂點，所以直線的斜率，解得，由，得，所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）證明：設直線的方程為，其中， ，由方程組得 所以

，于是有 ，所以

，因為原點到直線的距離 ，

所以

當時， ，所以當時的最大值，驗證知成立；

當時，所以當時的最大值

驗證知成立；所以

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)，其左右焦點為F1，F2，過F2的直線l交橢圓E于A，B兩點，△AB F1的周長為8，且△AF1F2的面積最大時，△AF1F2為正三角形。

(1)求橢圓E的方程；

(2)若MN是橢圓E經過 原點的弦，MN||AB，求證： 為定值

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】2016年巴西奧運會的周邊商品有80%左右為“中國制造”,所有的廠家都是經過層層篩選才能獲此殊榮．甲、乙兩廠生產同一產品，為了解甲、乙兩廠的產品質量，以確定這一產品最終的供貨商，采用分層抽樣的方法從甲、乙兩廠生產的產品共98件中分別抽取9件和5件，測量產品中的微量元素的含量（單位：毫克）．下表是從乙廠抽取的5件產品的測量數據：

編號

1

2

3

4

5

169

178

166

175

180

75

80

77

70

81

（1）求乙廠生產的產品數量：

（2）當產品中的微量元素滿足：，且時，該產品為優(yōu)等品．用上述樣本數據估計乙廠生產的優(yōu)等品的數量：

（3）從乙廠抽出的上述5件產品中，隨機抽取2件，求抽取的2件產品中優(yōu)等品數的分布列及數學期望．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，四邊形是邊長為2的菱形，平面，為的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）若，求三棱錐的體積．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知直線經過點，且圓的圓心到的距離為.

（1）求直線被該圓所截得的弦長；

（2）求直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】“石頭、剪刀、布”是個廣為流傳的游戲，游戲時甲乙雙方每次做“石頭”“剪刀”“布”三種手勢中的一種，規(guī)定：“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”，同種手勢不分勝負須繼續(xù)比賽，假設甲乙兩人都是等可能地做這三種手勢.

（1）列舉一次比賽時兩人做出手勢的所有可能情況；

（2）求一次比賽甲取勝的概率，并說明“石頭、剪刀、布”這個廣為流傳的游戲的公平性.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】公元263年左右，我國古代數學家劉徽用圓內接正多邊形的面積去逼近圓的面積求圓周率，劉徽稱這個方法為“割圓術”，并且把“割圓術”的特點概括為“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，下圖是根據劉徽的“割圓術”思想設計的一個程序框圖，若運行該程序，則輸出的的值為（ ）（參考數據： ， ， ）

A. 24 B. 30 C. 36 D. 48

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知f（x）=ex﹣ax2，曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=bx+1．

（1）求a，b的值；

（2）求f（x）在[0，1]上的最大值；

（3）證明：當x＞0時，ex+（1﹣e）x﹣xlnx﹣1≥0．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數，且函數在和處都取得極值．

（1）求實數與的值；

（2）對任意，方程存在三個實數根，求實數c的取值范圍．

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