Question

【題目】如圖，已知橢圓： 的離心率，短軸右端點(diǎn)為， 為線段的中點(diǎn).

(Ⅰ) 求橢圓的方程；

(Ⅱ)過點(diǎn)任作一條直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，試探究在軸上是否存在定點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）在軸上存在定點(diǎn)，使得

【解析】試題分析：（1）由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，即得，再根據(jù)離心率，解得，（2）， 等價(jià)于，.設(shè)， ， ，利用斜率公式及直線方程，化簡得，即，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理代入化簡得，即得.

試題解析：解：(Ⅰ)由已知，又，即，得，

所以橢圓方程為.

(Ⅱ)假設(shè)存在點(diǎn)滿足題設(shè)條件.

當(dāng)⊥x軸時(shí)，由橢圓的對稱性可知恒有，即；

當(dāng)與x軸不垂直時(shí)，設(shè)的方程為，

代入橢圓方程化簡得： .設(shè)， ，

則， ，

，

∵

.

若， 則，

即， 整理得，

∵，∴.綜上在軸上存在定點(diǎn)，使得.