【題目】如圖,已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,BC=2AD=2AB=4,將△ABD沿BD折到△A′BD的位置,使平面A′BD⊥平面CBD.

(Ⅰ)求證:CD⊥A′B;
(Ⅱ)試在線段A′C上確定一點(diǎn)P,使得二面角P﹣BD﹣C的大小為45°.

【答案】證明:(I)證法一:在△ABC中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2﹣2ABADcosA=4+4+8cosC,
在△BCD中,由余弦定理得BD2=BC2+CD2﹣2BCCDcosC=16+4﹣16cosC
由上述兩式可知,
∴BD⊥CD
又∵面A'BD⊥面CBD,面A'BD∩面CBD=BD,
∴CD⊥面A'BD
∵A'B面A'BD,∴A'B⊥CD.
(II)解:
法一:存在.P為A'C上靠近A'的三等分點(diǎn).
取BD的中點(diǎn)O,連接A′O,∵A'B=A'D∴A'O⊥BD
又∵平面A′BD⊥平面CBD,∴A'O⊥平面CBD,
∴平面A'OC⊥平面BCD,
過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OC于Q,則PQ⊥平面BCD,過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BD于H,連接PH.
則QH是PH在平面BDC的射影,故PH⊥BD,
所以,∠PHQ為二面角P﹣BD﹣C的平面角,
P為A'C上靠近A'的三等分點(diǎn),
, ,∴ ,∴∠PHD=45°.
∴二面角P﹣BD﹣C的大小為45°.
證明:(Ⅰ)證法一:在等腰梯形ABCD中,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E,
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F,則AE∥DF,∴EF=AD=2,
又∵在等腰梯形ABCD中,Rt△ABE≌Rt△DCF且BC=4∴BE=FC=1∴ D
在△BCD中, ,
∴BD2+CD2=BC2 , ∴CD⊥BD,
又∵平面A'BD⊥平面CBD,
面A'BD∩面CBD=BD∴CD⊥平面A'BD∴CD⊥A'B.
(Ⅱ)解法二:由(Ⅰ)知CD⊥BD,CD⊥平面A′BD.
以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以 的方向?yàn)閤軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz.

則D(0,0,0), ,C(0,2,0),
取BD的中點(diǎn)O,連接A'O,∵A'B=A'D∴A'O⊥BD
在等腰△A'BD中 可求得A'O=1∴
所以
設(shè) ,則
設(shè) 是平面PBD的法向量,則 ,
可取
易知:平面CBD的一個(gè)法向量為
由已知二面角P﹣BD﹣C的大小為45°.

解得: 或λ=﹣1(舍)
∴點(diǎn)P在線段A'C靠近A'的三等分點(diǎn)處.
【解析】(I)法一:由余弦定理推導(dǎo)出BD⊥CD,從而CD⊥面A'BD,由此能證明A'B⊥CD.
法二:過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于E,過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F,則AE∥DF,推導(dǎo)出CD⊥BD,從而CD⊥平面A'BD,由此能證明CD⊥A'B.(II)法一:取BD的中點(diǎn)O,連接A′O,推導(dǎo)出平面A'OC⊥平面BCD,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥OC于Q,則PQ⊥平面BCD,過(guò)點(diǎn)Q作QH⊥BD于H,連接PH,推導(dǎo)出PH⊥BD,從而∠PHQ為二面角P﹣BD﹣C的平面角,由此能求出P為A'C上靠近A'的三等分點(diǎn),二面角P﹣BD﹣C的大小為45°.
法二:以D為坐標(biāo)原點(diǎn),以 的方向?yàn)閤軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz,利用向量法能求出點(diǎn)P在線段A'C靠近A'的三等分點(diǎn)處.
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識(shí)可以得到問(wèn)題的答案,需要掌握垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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星期

星期2

星期3

星期4

星期5

星期6

利潤(rùn)

2

3

5

6

9

1)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求線性回歸直線方程;

2)估計(jì)星期日獲得的利潤(rùn)為多少萬(wàn)元.

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A.高一學(xué)生滿意度評(píng)分的平均值比高二學(xué)生滿意度評(píng)分的平均值高
B.高一學(xué)生滿意度評(píng)分比較集中,高二學(xué)生滿意度評(píng)分比較分散
C.高一學(xué)生滿意度評(píng)分的中位數(shù)為80
D.高二學(xué)生滿意度評(píng)分的中位數(shù)為74

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A.
B.
C.
D.

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月份代碼

1

2

3

4

5

6

市場(chǎng)占有率

11

13

16

15

20

21

(1)可用線性回歸模型擬合之間的關(guān)系嗎?如果能,請(qǐng)求出關(guān)于的線性回歸方程,如果不能,請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)公司決定再采購(gòu)兩款車(chē)擴(kuò)大市場(chǎng), 兩款車(chē)各100輛的資料如表:

車(chē)型

報(bào)廢年限(年)

合計(jì)

成本

1

2

3

4

10

30

40

20

100

1000元/輛

15

40

35

10

100

800元/輛

平均每輛車(chē)每年可為公司帶來(lái)收入元,不考慮采購(gòu)成本之外的其他成本,假設(shè)每輛車(chē)的使用壽命部是整數(shù)年,用每輛車(chē)使用壽命的頻率作為概率,以每輛車(chē)產(chǎn)生利潤(rùn)的平均數(shù)作為決策依據(jù),應(yīng)選擇采購(gòu)哪款車(chē)型?

參考數(shù)據(jù): ,,,.

參考公式:相關(guān)系數(shù)

回歸直線方程為,其中.

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