已知向量
a
=(sinx ， 1)，
b
=(1 ， cosx)．
（1）求滿足
a
⊥
b
的實數(shù)x的集合；
（2）設函數(shù)f(x)=|
a
+
b
|2，求f（x）在x∈[-
π
2
 ， 
π
2
]時的值域．
分析：（1）若
a
=（a，b），
b
=（m，n），則
a
⊥
b
?
a
•
b
=0，由此列方程，利用特殊角三角函數(shù)值可求出x的集合；
（2）由公式：若
a
=（a，b），則|
a
|2=a2+b2，及三角函數(shù)的有關公式，先把函數(shù)f（x）化簡為正弦型函數(shù)，然后根據(jù)正弦函數(shù)的性質求f（x）的值域．
解答：解：（1）由
a
⊥
b
得，sinx+cosx=0，∴tanx=-1，∴x=kπ+
3π
4
，k∈Z．
所以x的集合是{x|x=kπ+
3π
4
， k∈Z}．
（2）f(x)=|
a
+
b
|2=(sinx+1)2+(cosx+1)2=sin2x+cos2x+2(sinx+cosx)+2
=2（sinx+cosx）+3=2
2
sin(x+
π
4
)+3．
因為x∈[-
π
2
 ， 
π
2
]，所以x+
π
4
∈[-
π
4
 ， 
3π
4
]，
所以sin(x+
π
4
)∈[-
2
2
 ， 1]，
所以函數(shù)f（x）的值域為[1 ， 3+2
2
]．
點評：三角函數(shù)問題的解決：一般要利用三角函數(shù)的有關公式，先把函數(shù)轉化為正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+B（或余弦型函數(shù)），然后根據(jù)正弦函數(shù)（或余弦函數(shù)）的性質解決問題．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達式．
（2）用“五點作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調遞減區(qū)間．
（4）設關于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　　）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經過怎樣的變換得到？
⑤當x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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