Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的準(zhǔn)線為l，焦點(diǎn)為F，圓M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切．過原點(diǎn)作傾斜角為

π

3

的直線t，交l于點(diǎn)A，交圓M于點(diǎn)B，且|AO|=|OB|=2．
（1）求圓M和拋物線C的方程；
（2）在拋物線C上是否存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線m：y=k（x-1）（k≠0）對稱？若存在，求出直線m的方程，若不存在，說明理由；
（3）設(shè)G，H是拋物線C上異于原點(diǎn)O的兩個不同點(diǎn)，且

OG

•

OH

=0，求△GOH面積的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）根據(jù)

p

2

=OA×cos60°，可求出p的值，從而求出拋物線方程，求出圓心和半徑可求出⊙M的方程．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）關(guān)于直線m對稱，且PQ中點(diǎn)D（x₀，y₀），由點(diǎn)差法求出y₀=-2k，由此推導(dǎo)出在軌跡C上不存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線m對稱．
（3）設(shè)G（x₃，y₃），H（x₄，y₄），則x₃x₄=16，S△GOH2=

1

4

|

OG

|2|

OH

|2，由此能求出當(dāng)且僅當(dāng)x₃=x₄=4時取等號，△AOB面積最小值為16．

解答： 解：（1）∵|AO|=|OB|=2，

p

2

=OA×cos60°=2×

1

2

=1，解得p=2，
∴拋物線C的方程為y²=4x．
設(shè)⊙M的半徑為r，則r=

OB

2

×

1

cos60°

=2，
∵圓M的圓心在x軸的正半軸上，且與y軸相切，
∴圓心M（2，0），
∴⊙M的方程為（x-2）²+y²=4．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）關(guān)于直線m對稱，且PQ中點(diǎn)D（x₀，y₀）
∵P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）在軌跡C上，
∴y₁²=4x₁，y₂²=4x₂
兩式相減得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂）
∴y₁+y₂=4•

x1-x2

y1-y2

，
∴y₀=-2k，
∵D（x₀，y₀）在m：y=k（x-1），∴x₀=-1＜0，點(diǎn)D（x₀，y₀）在拋物線外
∴在軌跡C上不存在兩點(diǎn)P，Q關(guān)于直線m對稱．
（3）設(shè)G（x₃，y₃），H（x₄，y₄）
∵

OG

•

OH

=0，∴x₃x₄+y₃y₄=0
∵y₃²=4x₃，y₄²=4x₄
∴x₃x₄=16，
∴S△GOH2=

1

4

|

OG

|2|

OH

|2
=

1

4

(x32+y32)(x42+y42)
=

1

4

(x32+4x3)(x42+4x4)
=

1

4

[(x3x4)2+4x3x4(x3+x4)+16x3x4]
≥

1

4

[(x3x4)2+4x3x4•2

x3x4

+16x3x4]=256．
∴當(dāng)且僅當(dāng)x₃=x₄=4時取等號，△AOB面積最小值為16．

點(diǎn)評：本題綜合考查軌跡方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．