Question

設(shè)過(guò)點(diǎn)A（p，0）（p＞0）的直線l交拋物線y²=2px（p＞0）于B、C兩點(diǎn)，
（1）設(shè)直線l的傾斜角為α，寫出直線l的參數(shù)方程；
（2）設(shè)P是BC的中點(diǎn)，當(dāng)α變化時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程，并化為普通方程．

Answer 1

分析：（1）先將l的參數(shù)方程寫成為

x=p+tcosα y=tsinα

(t為參數(shù))其中α≠0；
（2）將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程中有：t²sin²α-2ptcosα-2p²=0，設(shè)B、C兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，其中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），利用參數(shù)的幾何意義得出：y²=px-p²即為P點(diǎn)軌跡的參數(shù)方程．

解答：解：（1）l的參數(shù)方程為

x=p+tcosα y=tsinα

(t為參數(shù))其中α≠0
（2）將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程中有：t²sin²α-2ptcosα-2p²=0
設(shè)B、C兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t₁，t₂，其中點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為

t1+t2

2

，
由

t1+t2= 2pcosα sin2α t1t2= -2p2 sin2α

，當(dāng)α≠90°時(shí)，應(yīng)有

x=p+ t1+t2 2 cosα=p+ p tan2α y= t1+t2 2 sinα= p tanα

（α為參數(shù)）
消去參數(shù)得：y²=px-p²
當(dāng)α=90°時(shí)，P與A重合，這時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（p，0），也是方程的解
綜上，P點(diǎn)的軌跡方程為y²=px-p²

點(diǎn)評(píng)：本題考查求直線的參數(shù)方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為普通方程的方法，以及直線方程中參數(shù)的意義．