Question

已知冪函數(shù)y=x^3m-9（m∈N^*）的圖象關(guān)于y軸對稱，且在（0，+∞）上函數(shù)值隨x的增大而減小，求滿足（a+1） -

m

3

＜（3-2a） -

m

3

的a的范圍．

Answer 1

分析：利用冪函數(shù)在（0，+∞）上是減函數(shù)判斷出指數(shù)小于0，由圖象關(guān)于y軸對稱得到指數(shù)是偶數(shù)，求出m的值；利用冪函數(shù)的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為一次不等式，求出解集．

解答：解∵函數(shù)在（0，+∞）上遞減，
∴3m-9＜0，解得m＜3，又m∈N^*，∴m=1，2．
又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，
∴3m-9為偶數(shù)，故m=1，
∴(a+1)-

1

3

＜(3-2a)-

1

3

又∵y=x-

1

3

在（-∞，0），（0，+∞）上均遞減，
∴a+1＞3-2a＞0或0＞a+1＞3-2a
或a+1＜0＜3-2a，
解得

2

3

＜a＜

3

2

或a＜-1．
故a的取值范圍是

2

3

＜a＜

3

2

或a＜-1．

點(diǎn)評：本題考查冪函數(shù)的性質(zhì)：冪函數(shù)奇、偶性與冪指數(shù)有關(guān)、冪函數(shù)的單調(diào)性與冪指數(shù)有關(guān)．